【徹底解説】令和7年度埼玉県高校入試　数学　大問3(3) 大問４(2)

こんにちは！

英才個別学院レイクタウン校のホームぺージをご覧いただきありがとうございます。

主任講師の鈴木です。

まずは受験生の皆さん、入試おつかれ様でした！

合格発表までまだ時間があり、ドキドキは続きますが、

良い結果であることを願って発表を待ちましょう！

さて、今回のブログでは、

　埼玉県公立高校入試の数学、学力検査版の大問3(3)と大問４(2)の解説　をしたいと思います！

数学は大問１の配点が65点とかなり高くなっているので

まずは大問1の完答を目指すことが第一目標です。

にもかかわらずなぜ今回解説するのが大問3(3)と大問4(2)なのか。

それは、諦めてしまう人が多いからです。

確かに、点数の取り方としてこの2問は捨てて大問1を仕上げた方がよいかもしれません。

ただ逆に言えばこの2問が取れるようになれば、それは大きな差になります！

考え方や知識を固めて、経験を積んでいけば、全然捨てる必要なんてありません！

訓練さえしていければ、得点源に出来ます！
今回は、それをぜひ知っていただきたいので出来る限り、詳細に解説をしていきます！

来年受験を迎えるそこの君！ぜひ参考にしていってください！

これが今年度の大問3の問題です。規則性についての問題ですね。

例年、大問３は会話文を読んで、何を題材に何を考えていくのかを読み取り問題を解く。

このような大問になっています。

今回は円周上に2つの点を取り、その２点に値を設定し、

隣り合う2点の間にさらに新たな点を取り、その値は隣り合う2点の和で定めていき

その操作を繰り返したときに

"点の最大値"と"すべての点の値の合計"にはどのような規則性が見られるか。

それを考えていくような内容でした。

表を見てみると点の最大値は【２，３，５，８，・・・】というように

数字が並んでいくことが読み取れます。

この会話文中では、はじめの2点を１と２にしており、

点の値は隣り合う2点の和。つまり、操作を繰り返したときの値の中で２点。

値の大きいところに注目し、その和を考えていけばその次の最大点を求めていくことが出来ます。

はじめは2点しかないのでシンプルに最大点は２。

操作1回目では、「1+2=3」なので、最大値は3。

操作2回目では、「2+3=5」なので、最大値は5。

操作3回目では、「3+5=8」なので、最大値は8。

このように求めていきます。

ここで気づいて欲しいのは最大値を求めるときの2点。

実は前2つの最大点の和が次の最大点になっていることです。

先ほどの最大値の導出過程をもう一度確認してみましょう。

はじめは2点しかないのでシンプルに最大点は２。

操作1回目では、「1+2=3」なので、最大値は3。

操作2回目では、「2+3=5」なので、最大値は5。

操作3回目では、「3+5=8」なので、最大値は8。

実はこのような規則性があったわけです。

さてこのような数字の並び方。

実は、有名な数列で"フィボナッチ数列"と呼ばれる前2つの和が並んだ数列として知られています。

フィボナッチ数列を知識として知っていた人は

はじめの【２，３，５，８，・・・】という数字の並びを見て

すぐに気づけた人もいるのではないでしょうか。

つまりは、この問題。

そんな問題になっていたわけです。

これまで、過去問や北辰などでもフィボナッチ数列についてを考えるような問題はなかったので、

当日テストをしていた子は、難しいと感じた子も多かったのではないでしょうか。

ただ逆に知っていた子はスムーズに考えていくことが出来たはずです。

このように大問３は基本会話文を参考に考えていく大問ではありましたが、

もし読んで考えていくはずの内容を知っていたら、

ずるをしているかのように問題の難易度はグッと下がります。

【３，９，２７，８１，・・・】

どうですかね。先ほどのように何か規則性に気づけないでしょうか。

そうです。これは "３の累乗"です。

と、ここまでがこの大問の問題を考えていくうえでの読み取りです。

(1)はこの内容が読み取れているかの確認問題になっており、

(2)以降を考えていくにあたってはこの会話文のJさんと先生の最後の会話。

ここが重要になってくるわけです。

(3)を解説していくにあたってこの内容がまずは分からないと進めていけないので

少し長くなってしましましたが、読み取りについても書かせていただきました。

(3)の内容に入りましょう！

(3)では、はじめの2点の値を２と５として操作をn回行います。

このとき、すべての点の値の合計は1701となったとのこと。

そしてこの情報をもとにこのときのnの値と点の最大値を求めていかなければいけません。

え、これだけで求められるのと思ったそこのあなた。正解です。

この問題はこのままでは、解くのは難しいままです。

ただあることを知っているとこの問題は少し考えやすくなります。

それは、「前問は次の問題を解くためのヒントになっている」ということです。

これは数学の問題では、よく出てくるテクニックの１つです。

例えば、北辰の大問4。(1)に証明。(2)に求角or求辺。といったような問題のつくり。

見たことありませんか？

今回の問題はまさにこのテクニックを知っているかどうかが重要な問題でした。

使うのは結果だけなので、(2)の説明が出来ている出来ていないは関係ありません。

今回(2)から読み取れることは

はじめの2点をa,bとしたとき、

操作2回目の円周上にあるすべての点の値の合計が、aとbの和の9倍になったということです。

繰り返しにはなりますが、

会話文中では、はじめの数は１と２。

すべての点の値の合計は【３，９，２７，８１，・・・】です。

(2)は2回目の話だったので、2回目の値 27 に注目してみましょう！

はじめの数は１と２なので、1+2=3

これを9倍するので、27。しっかりと求めることが出来ました。

その違和感とは、操作は2回目なのに、27。この数字は数列の3つ目の値であるということです。

そう、はじめの状態を考えてることで少しずれが生じてしまっています。

それではこのずれを修正しましょう。

修正のために必要なのは、

少し前に書いたすべての点の値の合計は3の累乗となっていることと(2)の結論です。

(2)の結論を式にしてみましょう。"(a+b)×9"です。

つまりは、操作を2回行うと、

すべての点の値の合計は”(a+b)×(3の2乗)”で求められるわけです。

さて、これは他のときにも成り立つでしょうか。

会話文中の操作3回目の値で確認してみましょう。

操作3回目の値は81。

(1+2)×(3の3乗)＝3×27=81。

しっかりと求めることが出来ました。

つまりは先ほど、3の累乗と簡単に片づけてしまったすべての点の値の合計は

こんなからくりで求められていたわけです。

(2+5)×(3のn乗)=1701

こんな方程式を立てることが出来るのではないでしょうか。

これを解くとn=5。

点の最大値はフィボナッチ数列で求めればいいので、

操作2回目は、5+7で12。

操作3回目は、7+12で19。

操作4回目は、12+19で31。

操作5回目が、19+31で50。

よって　n=5,最大点=50        

 と求められるわけです。

これが今年度の大問4の問題です。

まずは(2)を解くにあたって重要な内容を抽出してそれを図に書き込んでみましょう。

するとこのようになります。

今考えたいのは△BCPと△CDPの面積が等しいとき。

このままでは、考えにくいので、少し図を描き直してみましょう！

ここで△BCPと△CDPは辺CPが共通しています。

△の面積公式は"底辺×高さ÷２"なので

底辺が同じで面積が等しくなるのは高さが等しいときだと分かります。

CPを少し延長し高さを取ると

このような図になり、ここで線分BEと直線CPの交点をEとし、

△BGEと△DFEに注目すると、合同であることから、

△BCPと△CDPの面積が等しくなるとき、直線CPが点Eの(4,6)を通ることがわかります。

よって

と求められるわけです。

長くなりましたが以上で解説は終わりになります。

最後まで拝見していただきありがとうございました。

英才個別学院レイクタウン校では、このように分からない問題の解説を授業内で実施しております。

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